ラグランジュ未定係数法

2 変数函数 $f=f(x,y)=x^2-y^2$ の $g=g(x,y)=x^2+y^2=0$ 条件下での条件付き極値を考える. これは $\lambda$ をパラメータ, $g$ を函数とみなしたときのラグランジュ函数

$$\begin{align} L=L(x,y;\lambda) &= f(x,y)+\lambda g(x,y) \\ &= x^2+y^2+\lambda(x^2-y^2) \end{align}$$

の極値問題を解くことに相当する:

$$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial y} = \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$$

$$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial x} &= 2x+2\lambda x = 2x(1+\lambda) = 0,\\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2y-2\lambda y =2y(1-\lambda) = 0 \end{align}$$

これを解くと, $\lambda=1$ の場合, $(x,y)=(\pm 1,0)$ で極大値を, $\lambda=-1$ の場合, $(x,y)=(0,\pm 1)$ で極小値をとる.

ラグランジュ未定係数法の心は この記事がとても参考になります

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